Van een medeliefhebber van sport en statistiek kreeg ik de volgende vraag: Als je bij tennis dubbelt en je bent allebei rechtshandig, wie kan dan het beste links staan en wie rechts? Wiskunde kan hier een antwoord op geven, en enkele mythes ontkrachten.  

Het dubbelspel en de puntentelling

Bij het dubbelen spelen twee koppels tegen elkaar. Ze serveren en ontvangen om de beurt een game. Speler 1 van team 1, speler 1 van team 2, speler 2 team 1, speler 2 team 2. De puntentelling is hetzelfde als in het enkelspel. Los van de gekke telling met 15, 30 en 40, komt het op het volgende neer: om een game te winnen moet je vier punten winnen met minimaal twee punten verschil. De serverende partij slaat afwisselend op aan de rechterkant en aan de linkerkant van het veld.  Het ontvangende team kiest welke speler aan de rechterkant staat en wie aan de linkerkant. Die keuze staat voor de rest van de set vast. Als je ontvangt op rechts (en je bent rechtshandig), dan sla je vaker een forehand, en dat is bij de meeste spelers de betere slag. Op links sla je de return vaker met de backhand.

Argumenten voor links en rechts

De vragensteller voegde er aan toe: “Aan de rechterkant worden meer punten gespeeld (aangezien je start aan de rechterkant), dat pleit voor de beste speler op rechts. Aan de andere kant heeft de betere speler vaak een relatief sterkere backhand. “ Een ander veelgehoord argument dat je vaak hoort op de tennisbaan is dat de betere speler op links moet staan, omdat daar de belangrijke punten gespeeld worden (bijvoorbeeld 40-30 of 30-40).

Hoe een wiskundige een brand blust

Ken je die mop van die wiskundige en natuurkundige die een brand moesten blussen? Ze slapen in een hotel en er breekt brand uit. De natuurkundige wordt wakker. Hij gaat aan de slag, voert berekeningen uit, doet precies genoeg  water in een emmer en blust de brand. De volgende nacht breekt er weer brand uit. De wiskundige wordt wakker. Hij weet dat de natuurkundige de brand de vorige keer heeft geblust, maakt hem wakker, gaat zelf weer slapen, en heeft het probleem daarmee gereduceerd tot een probleem dat al opgelost is.

Ook dit probleem kunnen we omschrijven in een probleem dat al is opgelost. Er is al veel bekend over twee soorten puntentellingen. Variant 1: Spelers die om en om serveren. Variant 2: Degene die een punt wint mag het volgende punt serveren. Kingston (1976) heeft voor beide systemen berekend wat de kans is dat een speler het eerst N punten heeft. Lee en Chin (2004) hebben dit voor variant 2 uitgebreid met de voorwaarde dat je met minimaal K punten verschil moet winnen. Variant 1 kun je op dezelfde manier uitbreiden en gebruiken voor dit probleem.

Gebruik maken van om en om serveren

In de klassieke puntentelling serveren twee spelers om en om, en hebben dan kans p1 en p2 om het punt te maken op de eigen service. Laten we zeggen dat speler 1 de even punten serveert en speler 2 de oneven punten. In het dubbelen ontvang je om en om op rechts en op links, met winkans pr en pl. De kans dat speler 1 een punt wint is afwisselend p1, 1-p2, p1, 1-p2…. Bij de ontvangende dubbelaars is dit pr, pl, pr, pl…. We kunnen dus gebruik maken van wat we weten over de puntentelling waarbij spelers om en om serveren als we kiezen: p1=pr en p2=1-pl. Om bij tennis de game te winnen moet je 4 punten maken met minimaal 2 punten verschil.

Resultaten

We berekenen met deze methode de kans dat de ontvangers de game winnen, bij verschillende combinaties de kans om een punt te maken op rechts en op links. Hieronder zien we de uitkomsten:

Uiteraard neemt de kans om de game te winnen toe als de kans om een punt te winnen op links of rechts toeneemt. Maar twee dingen vallen op:

• Links/rechts is symmetrisch

Als we de kans op links en op rechts omwisselen, bijvoorbeeld pr= 80% en pl=60%, of pr=60% en pl=80%, komt er precies hetzelfde uit. Het maakt dus niet uit dat er meer punten op rechts gespeeld worden, en het is ook niet zo dat de punten op links belangrijker zijn (los van eventuele mentale aspecten).

• Stabiliteit loont alleen voor de underdog

Als je dus gaat dubbelen moet je in de basis zorgen dat de som van pr en pl zo hoog mogelijk is. Maar toch is dat niet het hele verhaal. Neem bijvoorbeeld de combinatie 60/60 en 80/40 en 90/30. Allemaal bij elkaar opgeteld 120%. De kans om de game te winnen is respectievelijk 0,736, 0,764 en 0,820. Dat is een opvallend resultaat. Intuïtief is het beter om stabiel te spelen dan wisselend, maar dat is dus  niet het geval. Hoe groter het verschil tussen pr en pl, hoe groter de kans om te winnen. Dit geldt alleen als pr en pl groter zijn dan 100%. Vanwege symmetrie geldt voor het slechtere koppel, pr +pl kleiner dan 100% precies het tegenovergestelde.  Dan pakt 40/40 beter uit dan 20/60 of 10,70.

Waarom stabiliteit alleen loont voor de underdog

Dit kunnen we begrijpen door naar een extreem voorbeeld te kijken. Neem de situatie dat een van de twee kansen 0 of 100 is. Bijvoorbeeld. 100/20 versus 60/60. Bij 100/20 win je de game met zekerheid. Je wint alle punten op rechts, en op het moment dat je dus één keer een punt op links wint, win je de game. Bij 60/60 is er wel een kans dat je de game verliest. En andersom: Bij 0/80 verlies je zeker, maar bij 40/40 heb je een kans. Stabiliteit loont dus alleen voor de underdog.

Waarom het niet uitmaakt dat je meer punten op rechts speelt

Als een game eindigt na 40-0 of 40-30 speel je evenveel punten op links als op rechts, maar na 40-15 heb je 3 punten op rechts gespeeld en 2 op links. Waarom moet de betere speler dan niet op rechts staan? Dit komt omdat je met twee punten verschil moet winnen. Als dat niet hoeft, dan zou het wel uitmaken. We zouden het spel zo aan kunnen passen dat we altijd evenveel punten spelen aan beide kanten. Als de game is afgelopen na 40-15 spelen we gewoon nog een punt op links. Maar dat punt doet er dan niet meer toe. Ook als je die verliest is de stand in gewonnen rally’s nog steeds 4-2.

Hoe bepaal je de opstelling?

Hoe kun je dit nu gebruiken om de beste opstelling te bepalen?

Bepaal voor beide spelers wat de kans is om een punt te winnen als je ontvangt op links en rechts. Stel dat dit voor speler 1 70/60 is en voor speler 2 50/50. Als speler 1 op rechts staat en speler 2 op links, is pr 70 en pl 50. Andersom 50/60. Je kunt dus beter voor de eerste variant gaan. Zet speler 1, die de sterkere forehand heeft, op rechts, ook al is hij de betere speler. Liggen de twee opties heel dicht bij elkaar? Ga dan alleen voor stabiliteit als je de underdog bent.

Vervolgvragen

Er zijn veel vervolgvragen te stellen die je met data kunt onderzoeken. Is het zo dat de betere speler bijvoorbeeld beter om kan gaan met de druk van een gamepoint of breakpoint? Is het verschil tussen pr en pl kleiner voor betere spelers, en moet de betere speler daarom toch op links staan? Gebruiken toppers en recreanten de beste opstelling, of zouden ze soms beter kunnen wisselen?

Waar moet de betere speler staan in het dubbelspel? We hebben dit probleem bekeken als een wiskundig probleem met vaste winkansen op links en rechts. Dan blijkt dat je vooral moet zorgen dat die twee kansen samen zo hoog mogelijk zijn. Het maakt niet uit dat je meer punten speelt op rechts en punten op links zijn niet belangrijker dan die op rechts.

Kingston, J. G. (1976). Comparison of scoring systems in two-sided competitions. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 20(3), 357-362.

Lee, K. T., & Chin, S. T. (2004). Strategies to serve or receive the service in volleyball. Mathematical Methods of Operations Research, 59, 53-67.