Waar kun je je dartpijl het beste op richten als je een zo hoog mogelijke verwachte score wilt? Niet op de triple 20! Tenzij je ongeveer even goed bent als Michael van Gerwen en Raymond van Barneveld. Met behulp van wiskunde kun je uitrekenen waar je het beste kunt mikken, afhankelijk van hoe nauwkeurig je kunt gooien. Voor de beginner is dat meestal de Bullseye, voor meer gevorderden de triple 19.
Bij darts gooi je om de beurt drie pijlen op een dartbord. In figuur 1 kun je zien hoe een dartbord eruit ziet en hoeveel punten je krijgt afhankelijk van waar je gooit. Een dartbord bestaat uit 20 delen, en een enkele en dubbele Bullseye. De dubbele of binnenste Bullseye is 50 punten waard, de enkele 25. Voor de zwarte en witte vakjes geldt dat je de score tussen 1 en 20 krijgt. De buitenste gekleurde ring verdubbelt het aantal punten, de binnenste gekleurde ring verdriedubbelt het aantal punten. Je krijgt dus de meeste punten als je de triple 20 raakt. Topdarters zoals Michael van Gerwen en Raymond van Barneveld mikken daar bijna altijd op.
Figuur 1: Links: Een dartbord. Rechts: De score die je krijgt afhankelijk van waar je gooit. Bron: https://en.wikipedia.org/wiki/Darts.
Het doel bij darts is om zo snel mogelijk een score van 501 te halen, dan heb je één leg gewonnen. Je moet altijd eindigen met een darts in de buitenste ring, een “dubbel”. In theorie is het mogelijk om in 9 darts uit te gooien, maar dat gebeurt bijna nooit. Op televisie is dat sinds 1984 slechts 51 keer voorgekomen. Je kunt een 9-darter gooien door bijvoorbeeld zeven keer triple 20 te gooien, één keer triple 19, en te eindigen met dubbel 12.
Stel nu dat je de eerste pijl gooit. Je wil een naar verwachting zo hoog mogelijke score gooien. Waar moet je dan mikken? Ryan Tibshirani, Andrew Price (niet Gerwyn) en Jonathan Taylor (niet Phil) van de universiteit van Stanford zochten dat uit in hun artikel “A statistician plays darts”. Dit hangt af van hoe nauwkeurig je kunt gooien. In eerste instantie gaan ze er vanuit dat je mikt op een plek μ met coördinaten μ_x en μ_y. Ze nemen aan dat de afwijking in de x-richting en y-richting normaal verdeeld is met een gemiddelde van 0 en een standaardafwijking σ. De verwachte score hangt af van μ (waar je mikt) en σ (hoe nauwkeurig je kunt gooien). Ze berekenden de verwachte score voor drie standaarddeviaties: 5mm, 26,9mm en 64,6mm. De laatste twee standaarddeviaties zijn inschattingen van de nauwkeurigheid van twee van de schrijvers van het artikel. Een standaarddeviatie van 5 mm is heel nauwkeurig zullen we later zien. In figuur 2 is een simulatie te zien van 30 pijlen van iemand die mikt op de triple 20 met een standaarddeviatie van 26,9mm.
Figuur 2: Simulatie van 30 pijlen. Het doel is de triple 20, de standaarddeviatie 26,9mm.
Een dartbord heeft een straal van 170 mm, de straal van de binnenste Bullseye is 6,35mm. Stel dat een darter met een standaarddeviatie van 5mm op de Bullseye mikt. De kans dat hij de Bullseye raakt is dan 55,4%. Daar zou Michael van Gerwen best tevreden mee zijn.
Op basis van deze aannames hebben de auteurs voor elk punt op het dartbord berekend wat de verwachte score is als een darter daar op mikt. Dat kan door het dartbord op te delen in hele kleine stukjes, bijvoorbeeld van een vierkante millimeter. Voor elk van die vakjes benader je de kans dat de pijl in dat vakje terecht komt, vermenigvuldigt die met de score in dat vakje, en telt al die waardes bij elkaar op. Het resultaat is te zien in figuur 3. Bij een standaarddeviatie van 5 mm kun je het beste op de triple 20 mikken. De verwachte score van één pijl is dan van bijna 43. Voor 3 pijlen komt dat neer op een verwachte score van 129. Topspelers halen zelden een gemiddelde boven de 120. Dat is geen hele eerlijke vergelijking, want spelers mikken niet altijd op de triple 20, maar het geeft wel aan dat een standaarddeviatie van 5mm een soort ondergrens is. Als de standaarddeviatie toeneemt kun je beter op de triple 19 gooien. De scores rondom de triple 19 zijn gemiddeld hoger dan die om de triple 20. Als je je doel mist haal je toch nog wat meer punten, waardoor de verwachte score hoger is dan wanneer je op de triple 20 mikt. Als je nog onnauwkeuriger gaat gooien kun je het beste iets links onder het midden mikken. Dit is ook wel te begrijpen. Stel dat je heel erg onnauwkeurig gooit, zo erg dat je moeite hebt om het bord te raken. Dan kun je het beste in het midden mikken, omdat de kans dan het grootst is dat je het bord raakt. In figuur 4 is voor alle standaarddeviaties tussen 0 en 100mm te zien wat de optimale plek is om op te mikken.
Figuur 3: Links: Heatmap van verwachte score van één pijl bij een standaarddeviatie van 5mm (a), 26,9mm (b) en 64,6mm (c). Rechts: Plek met de hoogste verwachte score. Bron: Tibshirani, Price en Taylor (2011).
Figuur 4: Plek met de hoogste verwachte score afhankelijk van de standaarddeviatie tussen 0 en 100mm. De optimale plek start in de triple 20 bij σ=0, springt bij σ=16,4 naar de triple 19, en gaat dan richting de Bullseye. Bron: Tibshirani, Price en Taylor (2011).
Tot nu toe namen we aan dat de afwijkingen in de x-richting en de y-richting normaal verdeeld zijn met dezelfde standaarddeviatie en onafhankelijk van elkaar zijn. In de praktijk blijkt dit volgens de auteurs vaak net wat anders te liggen. De meeste spelers hebben een grotere afwijking in de y-richting dan in de x-richting. Ook zijn de afwijkingen vaak niet onafhankelijk. Voor een rechtshandige speler komt het bijvoorbeeld vaker voor dat de afwijking in de x-richting het tegengestelde teken heeft van de afwijking in de y-richting. Linksboven het doel en rechtsonder komen vaker voor dan linksonder en rechtsboven. Ook zijn er aanwijzingen dat de verdeling van de verticale afwijkingen niet normaal is, maar een zogenaamde scheve normale verdeling volgt. Er komen grotere uitschieters onder het doel voor dan boven het doel. Een voorbeeld van zo’n verdeling is te zien in figuur 5.
Figuur 5: Voorbeeld van een scheve normale verdeling met grotere uitschieters onder het doel dan boven het doel.
Bij andere verdelingen kun je nog steeds dezelfde methode gebruiken om de verwachte score te berekenen. De heatmaps uit figuur 3 veranderen dan een beetje, maar de conclusies blijven ongeveer hetzelfde. Het is bijna nooit voordelig om op de triple 20 te richten. En als je heel onnauwkeurig gooit, kun je het beste op de Bullseye mikken. Wellicht kun je deze informatie gebruiken als je zelf eens een potje darts speelt!
Bron:
Tibshirani, R. J., Price, A., & Taylor, J. (2011). A statistician plays darts. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society), 174(1), 213-226.