De wiskunde achter het gokken op sportwedstrijden

Dit artikel is onlangs verschenen in De Actuaris en is hier te vinden. Wil je nieuwe artikelen automatisch in je mailbox krijgen? Klik op de knop “Volg” rechts onder in je scherm. Zie je de knop niet, dan helpt helemaal naar boven scrollen.

Sites zoals Betfair waarop je kunt gokken op sportwedstrijden worden steeds populairder. Je kunt het zo gek niet verzinnen of je kunt er geld op inzetten. Groningen-Feyenoord, wordt het winst of verlies voor Feyenoord, of misschien gelijk spel? Vallen er meer of minder dan 7 doelpunten in de wedstrijd? Wat is de score bij rust? Maar ook: Wie wint X-factor dit jaar? En wat wordt de naam van het derde kind van William en Kate? Voor elke mogelijke uitkomst is er een quote, de hoeveelheid geld die je terugkrijgt als dat waar jij je geld op hebt ingezet ook daadwerkelijk gebeurt. En uit de quotes is veel leuke informatie te halen. Zo kan je afleiden wat de markt verwacht dat de kans is dat Groningen wint, of dat het kind van William en Kate Alice gaat heten. En hoeveel geld je naar verwachting verliest als je een gokje waagt.

We gaan hier een aantal formules afleiden aan de hand van de quotes voor de wedstrijd Engeland-Slovenië. Op een gegeven moment stond het volgende op Betfair.com:

betfair

Er zijn drie mogelijke uitkomsten: Engeland wint, gelijk spel of Slovenië wint. De blauwe getallen geven aan wat je uitbetaald krijgt als je één euro inzet op een van die drie mogelijkheden. We noemen deze getallen even Q1, Q2 en Q3. Als je inzet op winst voor Engeland, en Engeland wint, dan krijg je €1,31 terug en heb je dus 31 cent winst gemaakt. Niet zo heel veel, want de meeste mensen denken dat Engeland gaat winnen. Mocht Slovenië winnen en je had daar een euro op ingezet, dan had je maar liefst 13 euro winst gemaakt. De kans dat dat gaat gebeuren schatten de meeste mensen schijnbaar vrij laag in.

Je wil misschien gelijk graag weten of er een zogenaamde “arbitragemogelijkheid” is. Kun je “gratis geld” verdienen door handig in te zetten op verschillende uitkomsten, zodat je met zekerheid winst maakt? Helaas, net als op de aandelenmarkt zijn arbitragemogelijkheden er niet of zelden, en als ze er al zijn, worden ze snel gecorrigeerd door professionals die computermodellen hebben draaien die ernaar op zoek zijn. Dat er in dit geval geen arbitragemogelijkheid is, is ook in figuur 1 te zien. Bij een arbitragemogelijkheid ga je op zoek naar een strategie die met zekerheid een bepaalde uitkomst geeft. In dit geval kun je ervoor zorgen dat je altijd 1 euro uitbetaald krijgt door 1/1,31 in te zetten op winst voor Engeland, 1/5,8 op gelijk spel, en 1/14 op winst voor Slovenië. In alle drie de scenario’s krijg je één euro uitbetaald, maar je inzet is meer dan een euro, namelijk €1,0072. Je maakt dus met zekerheid 0,7 cent verlies. Je verwachte verlies is dan ook 0,0072/1,0072-1=1-1/1,0072=0,7%.

figuur 1

Figuur 1: Om met zekerheid een euro uitbetaald te krijgen moet je €1,0072 inzetten.

We kunnen hieruit ook gelijk de algemene formules afleiden voor het ontbreken van arbitrage en voor het verwachte verlies.

formules1

De quotes op Betfair komen tot stand door vraag en aanbod. Hoe meer mensen geld inzetten op Engeland, hoe lager de quote wordt. Hoe lager de quote is, hoe groter kans is volgens “de markt”. De kans is dus omgekeerd evenredig met de quote. Stel dat de kans dat Engeland wint precies 1/1,31 zou zijn. Dan is de verwachtingswaarde van de winst op je inzet precies 0. In de praktijk maak je echter naar verwachting verlies. De kans moet daarom iets naar beneden worden bijgesteld. Op deze manier tellen alle kansen ook netjes op tot 100%. De formule voor de kans op een bepaalde gebeurtenis volgens de markt is dan als volgt:

formules2

Hieronder is te zien wat de drie kansen waren bij aanvang van de wedstrijd Engeland-Slovenië:

tabel1

Tabel 1: Kansen op de drie mogelijke uitkomsten van de wedstrijd volgens de markt.

Naast de blauwe getallen zijn er ook drie rode getallen te zien. Dit zijn quotes voor de omgekeerde positie van de blauwe getallen. We noemen deze q1, q2 en q3. Bij de omgekeerde positie zet je niet een euro in, maar krijg je (in eerste instantie fictief) een euro. De 1,32 betekent dat als Engeland wint je €1,32 moet betalen, en dus 32 cent verlies maakt. Op dezelfde manier als hierboven kunnen we afleiden wat de voorwaarde is voor het ontbreken van arbitrage.

figuur 2

Figuur 2: Om met zekerheid een euro te moeten betalen ontvang je slechts €0,9960.

In dit geval kun je een constructie bedenken zodat je met zekerheid 1 euro moet betalen (figuur 2). In dit geval krijg je daar maar 99,60 cent voor terug, dus maak je 0,4 cent verlies. In het algemeen geldt:

formule3

Waarom zou je zo’n constructie afsluiten? Je kunt deze “shortposities” gebruiken om je winst zeker te stellen. Voor de mensen die in de financiële sector werken: Dit is te vergelijken met het te gelden maken van een renteswap. Stel, je hebt een receiver swap afgesloten, en de rente is gedaald. De swap is geld waard geworden. Als je deze winst zeker wilt stellen kun je twee dingen doen. Je kunt de swap verkopen, of je kunt een tegengestelde swap kopen, een payer swap. Dit laatste is soms voordeliger dan het openbreken van een contract. Op Betfair kun je je positie niet verkopen, maar je kunt wel de tegenpositie gebruiken om je winst zeker te stellen. Stel dat je één euro hebt ingezet op winst voor Engeland. Na de eerste helft staan ze voor, en is iedereen er nog meer van overtuigd dat Engeland gaat winnen. De quote is gedaald naar 1,1 en 1,11 voor de tegenpositie. Jij krijgt 1,31 als Engeland wint, dus jouw positie is meer waard geworden, en je wilt die winst veiligstellen. Je zet daarom 1,131/1,11=€1,18 in op de tegengestelde positie. Je ontvangt €1,18 en als Engeland wint moet je €1,31 betalen.

figuur 3

Figuur 3: Door een combinatie van twee deals kun je je winst tijdens de wedstrijd veiligstellen.

Er zijn nu twee mogelijkheden, Engeland wint wel, of ze winnen niet. Als Engeland toch niet wint ben je je eerste euro inzet kwijt, maar krijg je €1,18 uit de tweede deal. Je maakt 18 cent winst. Als Engeland wel wint, betaal je ook eerst één euro en krijg je €1,18, en daarbovenop ontvang je €1,31 uit de eerste deal en moet je hetzelfde bedrag betalen bij de tweede deal. Dat heft elkaar op, en je hebt nog steeds 18 cent winst. Wat er ook gebeurt, je hebt 18 cent winst veiliggesteld.

De quotes op Betfair en vergelijkbare sites kun je mooi gebruiken bij het invullen van je WK-poule als je geen verstand hebt van voetbal. Je kijkt gewoon welke ploeg de laagste quote heeft, en zet erop in dat die ploeg wint. Veel collega’s zullen denken dat ze het beter weten dan “de markt”, maar dat valt in de praktijk vaak tegen. Misschien word je voor gek verklaard. Maar deze strategie levert je vaak een hoge plek op in de einduitslag van de poule. Ik heb er helaas nooit mee gewonnen. Waren er dan toch een paar echte kenners, of hadden de winnaars gewoon geluk?